3. Высота АМ треугольника АВС делит его сторону ВС на отрезки ВМ и МС. Найдите сторону АС, если АВ = 10√2 см, МС = 24 см, ∠B = 45°.

Решение:

Рассмотрим треугольник \( ABM \). Это прямоугольный треугольник, так как \( AM \) — высота.

\( \angle AMB = 90^{\circ} \).

По условию \( \angle B = 45^{\circ} \).

Следовательно, \( \triangle ABM \) — равнобедренный прямоугольный треугольник, так как \( \angle BAM = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

В равнобедренном прямоугольном треугольнике \( AM = BM \).

По теореме Пифагора в \( \triangle ABM \): \( AM^2 + BM^2 = AB^2 \).

Так как \( AM = BM \), то \( 2 \cdot AM^2 = AB^2 \).

\( 2 \cdot AM^2 = (10\cdot\sqrt{2})^2 \)

\( 2 \cdot AM^2 = 100 \cdot 2 = 200 \)

\( AM^2 = 100 \)

\( AM = 10 \) см.

Значит, \( BM = 10 \) см.

Теперь рассмотрим треугольник \( AMC \). Это прямоугольный треугольник, так как \( AM \) — высота.

\( \angle AMC = 90^{\circ} \).

Известны катеты:

• \( AM = 10 \) см.
• \( MC = 24 \) см.

Найдем гипотенузу \( AC \) по теореме Пифагора:

\( AC^2 = AM^2 + MC^2 \)

\( AC^2 = 10^2 + 24^2 \)

\( AC^2 = 100 + 576 \)

\( AC^2 = 676 \)

\( AC = \sqrt{676} = 26 \) см.

Ответ: 26 см.