4. Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 20 см, а диагональ является биссектрисой её тупого угла. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть \( a = 12 \) см и \( b = 20 \) см — основания трапеции. Пусть \( BD \) — диагональ, являющаяся биссектрисой тупого угла \( \angle C \).

Так как \( AD ​ || BC \) и \( BD \) — секущая, то \( \angle DBC = \angle BDA \) (накрест лежащие).

Поскольку \( BD \) — биссектриса \( \angle C \), то \( \angle CBD = \angle DBA \).

Из \( \angle BDA = \angle CBD \) и \( \angle CBD = \angle DBA \) следует, что \( \angle BDA = \angle DBA \). Значит, \( \triangle ABD \) — равнобедренный с \( AB = AD \).

В равнобокой трапеции боковые стороны равны, значит \( AB = CD = AD \).

Периметр трапеции \( P = BC + AD + AB + CD = 12 + 20 + 20 + 20 = 72 \) см.

Теперь найдем высоту трапеции. Опустим перпендикуляры из вершин \( B \) и \( C \) на основание \( AD \). Пусть \( BE \) и \( CF \) — высоты.

\( AE = FD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{20 - 12}{2} = 4 \) см.

Рассмотрим прямоугольный \( \triangle ABE \). По теореме Пифагора: \( AB^2 = AE^2 + BE^2 \) \( 20^2 = 4^2 + BE^2 \) \( 400 = 16 + BE^2 \) \( BE^2 = 400 - 16 = 384 \) \( BE = \sqrt{384} = \sqrt{64 · 6} = 8\sqrt{6} \) см.

Площадь трапеции \( S = \frac{a+b}{2} · h \) \( S = \frac{12+20}{2} · 8\sqrt{6} = \frac{32}{2} · 8\sqrt{6} = 16 · 8\sqrt{6} = 128\sqrt{6} \) см².

Ответ: \( 128\sqrt{6} \) см².