3. Высота BD треугольника АВС делит его сторону АС на отрезки AD и CD. Найдите сторону ВС, если АВ = 4√6 см, CD = 3 см, ∠ABD = 30°

Задание 3. Треугольник

Дано:

• Треугольник ABC.
• BD - высота, BD ⊥ AC.
• AB = \( 4\sqrt{6} \) см.
• CD = 3 см.
• \( \angle ABD = 30° \).

Найти: сторону BC.

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD.
2. Известен катет AB = \( 4\sqrt{6} \) см и угол \( \angle ABD = 30° \).
3. Найдем высоту BD, используя соотношение противолежащего катета (AD) и прилежащего катета (BD) к углу, или через синус/косинус. Проще найти AD.
4. \( \text{sin}(\angle ABD) = \frac{AD}{AB} \)
5. \( AD = AB \cdot \text{sin}(30°) = 4\sqrt{6} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{6} \) см.
6. \( \text{cos}(\angle ABD) = \frac{BD}{AB} \)
7. \( BD = AB \cdot \text{cos}(30°) = 4\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{18} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \) см.
8. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BCD.
9. Известны катеты: BD = \( 6\sqrt{2} \) см и CD = 3 см.
10. Найдем гипотенузу BC по теореме Пифагора: \[ BC^2 = BD^2 + CD^2 \]
11. Подставим значения: \[ BC^2 = (6\sqrt{2})^2 + 3^2 \]
12. \( BC^2 = (36 \cdot 2) + 9 \)
13. \( BC^2 = 72 + 9 = 81 \)
14. \( BC = \sqrt{81} = 9 \) см.

Ответ: 9 см.