4. Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 20 см, а диагональ является биссектрисой её тупого угла. Вычислите площадь трапеции.

Задание 4. Площадь равнобокой трапеции

Дано:

• Равнобокая трапеция ABCD.
• Основания: BC = 10 см, AD = 20 см.
• Диагональ AC является биссектрисой тупого угла \( \angle DAB \).

Найти: Площадь трапеции S.

Решение:

1. Так как трапеция равнобокая, то боковые стороны равны: AB = CD.
2. Диагональ AC является биссектрисой \( \angle DAB \). По свойству биссектрисы, она делит угол пополам.
3. Рассмотрим углы: \( \angle DAC = \angle CAB \).
4. Так как BC || AD, то \( \angle BCA = \angle DAC \) как накрест лежащие углы при параллельных BC и AD и секущей AC.
5. Следовательно, \( \angle BCA = \angle CAB \).
6. Это означает, что треугольник ABC равнобедренный с основанием AB. Значит, BC = AB.
7. По условию, BC = 10 см, значит, AB = 10 см.
8. Так как трапеция равнобокая, то CD = AB = 10 см.
9. Теперь найдем высоту трапеции. Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD.
10. В равнобокой трапеции отрезки, на которые основание делится высотами, равны: \( AH = HD = \frac{AD - BC}{2} \)
11. \( AH = \frac{20 - 10}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) см.
12. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH.
13. Известны катеты: AB = 10 см (боковая сторона), AH = 5 см.
14. Найдем высоту BH по теореме Пифагора: \[ BH^2 = AB^2 - AH^2 \]
15. \( BH^2 = 10^2 - 5^2 = 100 - 25 = 75 \)
16. \( BH = \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} \) см.
17. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h \]
18. Подставим значения: \( a = AD = 20 \) см, \( b = BC = 10 \) см, \( h = BH = 5\sqrt{3} \) см.
19. \( S = \frac{20 + 10}{2} \cdot 5\sqrt{3} = \frac{30}{2} \cdot 5\sqrt{3} = 15 \cdot 5\sqrt{3} = 75\sqrt{3} \) см².

Ответ: \( 75\sqrt{3} \) см².