3. Высоты остроугольного треугольника ABC, проведённые из вершин A и C, пересекаются в точке H. Докажите, что если AH = CH, то △ABC равнобедренный.

Пусть высоты \(AH\) и \(CH\) проведены из вершин \(A\) и \(C\). Тогда \(AH\perp BC\) и \(CH\perp AB\).

Рассмотрим прямоугольные треугольники \(\triangle AHC\) и \(\triangle CHA\). У них:

• \(AH=CH\) по условию;
• сторона \(AC\) — общая;
• \(\angle AHC=\angle CHA=90^\circ\).

Следовательно, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету. Поэтому соответствующие углы равны: \(\angle CAH=\angle HCA\).

Так как \(AH\perp BC\), угол \(CAH\) дополняет угол \(C\) до \(90^\circ\). Так как \(CH\perp AB\), угол \(HCA\) дополняет угол \(A\) до \(90^\circ\). Из равенства этих углов следует \(\angle A=\angle C\).

В треугольнике против равных углов лежат равные стороны, поэтому \(AB=BC\). Следовательно, \(\triangle ABC\) равнобедренный.