3. Выясните, имеет ли система линейных уравнений решения и сколько: a) $$\begin{cases} 4x + y = 6 \\ 8x + 2y = 12 \end{cases}$$ б) $$\begin{cases} 4x + y = 6 \\ 12x - 3y = 18 \end{cases}$$ в) $$\begin{cases} 4x + y = 6 \\ 2x + \frac{1}{2}y = 9 \end{cases}$$

Решение:

Чтобы выяснить, имеет ли система решений и сколько, сравним коэффициенты уравнений.

а) Система:

$$\begin{cases} 4x + y = 6 \\ 8x + 2y = 12 \end{cases}$$

Разделим второе уравнение на 2:

$$4x + y = 6$$.

Получаем, что оба уравнения идентичны. Система имеет бесконечно много решений.

б) Система:

$$\begin{cases} 4x + y = 6 \\ 12x - 3y = 18 \end{cases}$$

Разделим второе уравнение на 3:

$$4x - y = 6$$.

Теперь сравним первое уравнение $$4x + y = 6$$ и второе $$4x - y = 6$$. Коэффициенты при x равны, но коэффициенты при y имеют разные знаки, а свободные члены равны. Эта система имеет одно решение.

в) Система:

$$\begin{cases} 4x + y = 6 \\ 2x + \frac{1}{2}y = 9 \end{cases}$$

Разделим второе уравнение на 2:

$$x + \frac{1}{4}y = 4.5$$.

Умножим первое уравнение на 1/2:

$$2x + \frac{1}{2}y = 3$$.

Теперь сравним $$2x + \frac{1}{2}y = 3$$ и $$2x + \frac{1}{2}y = 9$$. Коэффициенты при x и y равны, но свободные члены разные. Система не имеет решений.

Ответ:

а) Бесконечно много решений.

б) Одно решение.

в) Решений нет.