3. Выясните, являются ли события A и B независимыми, если: 1) P(A) = 0,1; P(B) = 0,7; P(AB) = 0,8; 2) P(A) = 0,1; P(B) = 0,7; P(AB) = 0,07; 3) опыт состоит в последовательном изъятии карт из колоды, A — изъята карта бубновой масти; B — изъят туз.

Для независимых событий должно выполняться равенство P(AB) = P(A) · P(B).

1. P(A) · P(B) = 0,1 · 0,7 = 0,07, что не равно 0,8. Кроме того, вероятность пересечения не может быть больше вероятности A. События не являются независимыми; указанные вероятности несовместимы.

2. P(A) · P(B) = 0,1 · 0,7 = 0,07 = P(AB). События независимы.

3. Предполагаем стандартную колоду из 52 карт без возвращения и что A относится к первой вынутой карте, а B — ко второй. P(A) = 13/52 = 1/4, P(B) = 4/52 = 1/13. Совместно события произойдут, если первой вынута бубновая карта, а второй — туз: среди 13 бубновых карт 1 туз, поэтому для 12 вариантов первой карты остаются 4 туза, а для туза бубновой масти — 3 туза. Тогда P(AB) = (12 · 4 + 1 · 3)/(52 · 51) = 51/2652 = 1/52. Между тем P(A) · P(B) = 1/52. События независимы.

Ответ: 1) нет; 2) да; 3) да — при указанном стандартном толковании последовательного изъятия без возвращения.