3) \(z=(\sqrt{5}+i)^{100}\)

Модуль числа \(\sqrt{5}+i\) равен \(\sqrt{5+1}=\sqrt{6}\). Если \(\alpha=\arctan\dfrac{1}{\sqrt{5}}\), то его тригонометрическая форма — \(\sqrt{6}(\cos\alpha+i\sin\alpha)\).

По формуле Муавра:

\(z=(\sqrt{6})^{100}\bigl(\cos(100\alpha)+i\sin(100\alpha)\bigr)=6^{50}\left(\cos\left(100\arctan\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)+i\sin\left(100\arctan\dfrac{1}{\sqrt{5}}\right)\right)\).

Точная запись в алгебраической форме, полученная раскрытием бинома:

\(z=\displaystyle\sum_{j=0}^{50}(-1)^j\binom{100}{2j}5^{50-j}+i\sqrt{5}\displaystyle\sum_{j=0}^{49}(-1)^j\binom{100}{2j+1}5^{49-j}\).