3 задание. Докажи основное тригонометрическое тождество.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 и гипотенузой 10.

1. По определениям синуса и косинуса острого угла α: \(\sin\alpha=\frac{6}{10}\), \(\cos\alpha=\frac{8}{10}\).
2. Возведём обе величины в квадрат и сложим: \[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\left(\frac{6}{10}\right)^2+\left(\frac{8}{10}\right)^2.\]
3. По теореме Пифагора: \(6^2+8^2=10^2\). Поэтому \[\left(\frac{6}{10}\right)^2+\left(\frac{8}{10}\right)^2=\frac{6^2+8^2}{10^2}=\frac{10^2}{10^2}=1.\]

Следовательно, для острого угла α выполняется основное тригонометрическое тождество: \[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.\]

Аналогично оно доказывается для угла β.

Ответ: \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).