3. Замените уравнение log0,7 (x² – 6x + 12) = log0,7 x равносильной системой и решите.

Чтобы решить данное уравнение \( \log_{0,7} (x^2 - 6x + 12) = \log_{0,7} x \), нам нужно преобразовать его в равносильную систему.

Шаг 1: Условия существования логарифма.

Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. У нас два логарифма с одинаковым основанием, поэтому должны выполняться два условия:

1. \( x^2 - 6x + 12 > 0 \)
2. \( x > 0 \)

Шаг 2: Преобразование уравнения.

Поскольку основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:

\( x^2 - 6x + 12 = x \)

Шаг 3: Составление равносильной системы.

Теперь объединим условия из Шага 1 и уравнение из Шага 2 в систему:

\[ \begin{cases} x^2 - 6x + 12 > 0 \\ x > 0 \\ x^2 - 6x + 12 = x \end{cases} \]

Шаг 4: Решение системы.

Сначала решим квадратное уравнение из третьего условия:

\( x^2 - 6x + 12 = x \)

Перенесем \( x \) в левую часть:

\( x^2 - 6x - x + 12 = 0 \)

\( x^2 - 7x + 12 = 0 \)

Найдем корни этого уравнения, используя теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета:

• Сумма корней \( x_1 + x_2 = 7 \)
• Произведение корней \( x_1 \times x_2 = 12 \)

Легко подобрать корни: \( x_1 = 3 \) и \( x_2 = 4 \) (так как \( 3+4=7 \) и \( 3 \times 4 = 12 \)).

Теперь проверим, удовлетворяют ли эти корни первым двум условиям системы:

Для \( x = 3 \):

1. \( x^2 - 6x + 12 = 3^2 - 6(3) + 12 = 9 - 18 + 12 = 3 \). \( 3 > 0 \) — условие выполнено.
2. \( x = 3 \). \( 3 > 0 \) — условие выполнено.

Таким образом, \( x = 3 \) является решением.

Для \( x = 4 \):

1. \( x^2 - 6x + 12 = 4^2 - 6(4) + 12 = 16 - 24 + 12 = 4 \). \( 4 > 0 \) — условие выполнено.
2. \( x = 4 \). \( 4 > 0 \) — условие выполнено.

Таким образом, \( x = 4 \) также является решением.

Ответ: 3; 4