30. Даны векторы а и б. Найдите абсолютную величину вектора а + б, если известно, что абсолютные величины векторов а и в равны 1, а угол между ними 60°.

Решение:

Дано: \( |\vec{a}| = 1 \), \( |\vec{b}| = 1 \), угол между \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) равен \( 60^{\circ} \). Найти \( |\vec{a} + \vec{b}| \).

Воспользуемся формулой для нахождения длины вектора суммы:

\[ |\vec{a} + \vec{b}|^2 = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + \vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 \]

Подставим известные значения:

1. Вычислим скалярное произведение \( \vec{a} \cdot \vec{b} \):

\[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{60^{\circ}} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]

2. Подставим все значения в формулу для \( |\vec{a} + \vec{b}|^2 \):

\[ |\vec{a} + \vec{b}|^2 = 1^2 + 2(\frac{1}{2}) + 1^2 = 1 + 1 + 1 = 3 \]

3. Найдём абсолютную величину \( |\vec{a} + \vec{b}| \):

\[ |\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3} \]

Ответ: \( \sqrt{3} \).