33. Найдите углы треугольника с вершинами А (0; √3), B (2; √3), C (3/2; -√3/2).

Решение:

Найдем векторы сторон треугольника.

\( \vec{AB} = B - A = (2 - 0; \sqrt{3} - \sqrt{3}) = (2; 0) \).

\( \vec{AC} = C - A = (\frac{3}{2} - 0; -\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}) = (\frac{3}{2}; -\frac{3\sqrt{3}}{2}) \).

\( \vec{BC} = C - B = (\frac{3}{2} - 2; -\frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}) = (-\frac{1}{2}; -\frac{3\sqrt{3}}{2}) \).

Угол А:

Косинус угла \( \alpha \) между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \):

\[ \cos{\alpha} = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} \]

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (2)(\frac{3}{2}) + (0)(-\frac{3\sqrt{3}}{2}) = 3 \]

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2 \]

\[ |\vec{AC}| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-\frac{3\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{36}{4}} = \sqrt{9} = 3 \]

\[ \cos{\alpha} = \frac{3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]

\[ \alpha = \arccos{\left(\frac{1}{2}\right)} = 60^{\circ} \]

Угол B:

Косинус угла \( \beta \) между векторами \( \vec{BA} = -\vec{AB} = (-2; 0) \) и \( \vec{BC} = (-\frac{1}{2}; -\frac{3\sqrt{3}}{2}) \):

\[ \cos{\beta} = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|} \]

\[ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-2)(-\frac{1}{2}) + (0)(-\frac{3\sqrt{3}}{2}) = 1 \]

\[ |\vec{BA}| = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2 \]

\[ |\vec{BC}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{3\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{27}{4}} = \sqrt{\frac{28}{4}} = \sqrt{7} \]

\[ \cos{\beta} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{7}} = \frac{1}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{14} \]

Угол C:

Косинус угла \( \gamma \) между векторами \( \vec{CA} = -\vec{AC} = (-\frac{3}{2}; \frac{3\sqrt{3}}{2}) \) и \( \vec{CB} = -\vec{BC} = (\frac{1}{2}; \frac{3\sqrt{3}}{2}) \):

\[ \cos{\gamma} = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| |\vec{CB}|} \]

\[ \vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-\frac{3}{2})(\frac{1}{2}) + (\frac{3\sqrt{3}}{2})(\frac{3\sqrt{3}}{2}) = -\frac{3}{4} + \frac{27}{4} = \frac{24}{4} = 6 \]

\[ |\vec{CA}| = |\vec{AC}| = 3 \]

\[ |\vec{CB}| = |\vec{BC}| = \sqrt{7} \]

\[ \cos{\gamma} = \frac{6}{3 \cdot \sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{7} \]

Ответ: углы треугольника равны \( 60^{\circ} \), \( \arccos{\left(\frac{\sqrt{7}}{14}\right)} \) и \( \arccos{\left(\frac{2\sqrt{7}}{7}\right)} \).