32. Даны вершины треугольника А (1; 1), B (4; 1), C (4; 5). Найдите косинусы углов треугольника.

Решение:

Для нахождения косинусов углов треугольника, нам понадобятся векторы, соответствующие сторонам треугольника.

Вектор \( \vec{AB} = B - A = (4-1; 1-1) = (3; 0) \).

Вектор \( \vec{AC} = C - A = (4-1; 5-1) = (3; 4) \).

Вектор \( \vec{BA} = A - B = (1-4; 1-1) = (-3; 0) \).

Вектор \( \vec{BC} = C - B = (4-4; 5-1) = (0; 4) \).

Вектор \( \vec{CA} = A - C = (1-4; 1-5) = (-3; -4) \).

Вектор \( \vec{CB} = B - C = (4-4; 1-5) = (0; -4) \).

Угол А:

Угол \( \alpha \) между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \).

\[ \cos{\alpha} = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} \]

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = (3)(3) + (0)(4) = 9 \]

\[ |\vec{AB}| = \sqrt{3^2 + 0^2} = \sqrt{9} = 3 \]

\[ |\vec{AC}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

\[ \cos{\alpha} = \frac{9}{3 \cdot 5} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \]

Угол B:

Угол \( \beta \) между векторами \( \vec{BA} \) и \( \vec{BC} \).

\[ \cos{\beta} = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|} \]

\[ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-3)(0) + (0)(4) = 0 \]

Так как скалярное произведение равно 0, векторы перпендикулярны, значит угол \( \beta = 90^{\circ} \) и \( \cos{\beta} = 0 \).

Угол C:

Угол \( \gamma \) между векторами \( \vec{CA} \) и \( \vec{CB} \).

\[ \cos{\gamma} = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| |\vec{CB}|} \]

\[ \vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-3)(0) + (-4)(-4) = 16 \]

\[ |\vec{CA}| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

\[ |\vec{CB}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2} = \sqrt{16} = 4 \]

\[ \cos{\gamma} = \frac{16}{5 \cdot 4} = \frac{16}{20} = \frac{4}{5} \]

Ответ: косинусы углов треугольника равны \( \frac{3}{5}, 0, \frac{4}{5} \).