30. На рисунке 77 \(\angle ABK=\angle FBM\). Луч BP — биссектриса угла KBF. Докажите, что луч BP — биссектриса угла ABM.

По рисунку лучи внутри угла ABM расположены в порядке BA, BK, BP, BF, BM. Обозначим \(\angle ABK=\angle FBM=\alpha\). Так как BP — биссектриса угла KBF, то \(\angle KBP=\angle PBF=\beta\).

Тогда \(\angle ABP=\angle ABK+\angle KBP=\alpha+\beta\), а \(\angle PBM=\angle PBF+\angle FBM=\beta+\alpha\). Следовательно, \(\angle ABP=\angle PBM\). Луч BP делит угол ABM на два равных угла, значит, по определению он является его биссектрисой.