30. Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а тангенс одного из углов равен √2/4. Найдите площадь параллелограмма.

Решение:

• Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: S = ab sin(α).
• Известно, что tg(α) = √2/4.
• Найдем sin(α). Из соотношения 1 + tg²(α) = 1/cos²(α):
• 1 + (√2/4)² = 1 + 2/16 = 1 + 1/8 = 9/8.
• cos²(α) = 8/9, cos(α) = ±2√2/3.
• Теперь найдем sin(α): sin(α) = tg(α) * cos(α).
• Если cos(α) = 2√2/3, то sin(α) = (√2/4) * (2√2/3) = (2 * 2) / (4 * 3) = 4/12 = 1/3.
• Если cos(α) = -2√2/3, то sin(α) = (√2/4) * (-2√2/3) = -4/12 = -1/3.
• Так как площадь должна быть положительной, и синус угла в параллелограмме положителен (если угол острый) или синус тупого угла равен синусу острого, берем sin(α) = 1/3.
• Стороны параллелограмма: a = 12, b = 5.
• S = 12 * 5 * (1/3) = 60 * (1/3) = 20.

Ответ: 20