30. В параллелограмме KMPT на рисунке DB ∥ TP, AC ∥ KT. 1. Разложите по векторам \(\vec m=\overrightarrow{TP}\) и \(\vec n=\overrightarrow{DK}\) векторы: а) \(\overrightarrow{TO}\); б) \(\overrightarrow{TM}\). 2. Разложите вектор \(\overrightarrow{OM}\) по векторам: а) \(\vec a=\overrightarrow{DO}\) и \(\vec b=\overrightarrow{OA}\); б) \(\vec a=\overrightarrow{DO}\) и \(\vec c=\overrightarrow{KT}\).

Из рисунка и условий параллельности следует, что D и B — середины KT и MP, а A и C — середины KM и PT. Поэтому O — точка пересечения отрезков AC и DB, и отрезки DO и OA направлены соответственно как TP и DK.

1. Так как \(\overrightarrow{DO}=\frac12\vec m\) и \(\overrightarrow{OD}=-\vec n\), получаем:

а) \(\overrightarrow{TO}=\overrightarrow{TD}+\overrightarrow{DO}=\frac12\overrightarrow{TK}+\frac12\vec m=\vec n+\frac12\vec m\), поскольку \(\overrightarrow{TD}=-\vec n\) — поправка: \(\overrightarrow{TD}=-\vec n\), следовательно \(\overrightarrow{TO}=-\vec n+\frac12\vec m\).

б) \(\overrightarrow{TM}=\overrightarrow{TP}+\overrightarrow{PM}=\vec m+2\vec n\), так как \(\overrightarrow{PM}=2\vec n\).

2. Поскольку \(\overrightarrow{OM}=\frac12\vec m+\vec n\):

а) \(\vec a=\overrightarrow{DO}=\frac12\vec m\), \(\vec b=\overrightarrow{OA}=\vec n\). Значит, \(\overrightarrow{OM}=\vec a+\vec b\).

б) \(\vec a=\frac12\vec m\), а \(\vec c=\overrightarrow{KT}=-2\vec n\), то есть \(\vec n=-\frac12\vec c\). Следовательно, \(\overrightarrow{OM}=\vec a-\frac12\vec c\).

Ответ: 1а) \(\overrightarrow{TO}=\frac12\vec m-\vec n\); 1б) \(\overrightarrow{TM}=\vec m+2\vec n\); 2а) \(\overrightarrow{OM}=\vec a+\vec b\); 2б) \(\overrightarrow{OM}=\vec a-\frac12\vec c\).