305. Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.

Пусть точка P лежит внутри треугольника ABC. Представим её как точку с барицентрическими коэффициентами: P = αA + βB + γC, где α, β, γ > 0 и α + β + γ = 1.

По неравенству треугольника:

PA ≤ β·AB + γ·AC, PB ≤ α·AB + γ·BC, PC ≤ α·AC + β·BC.

Складывая эти неравенства и группируя слагаемые, получаем:

PA + PB + PC ≤ (α + β)·AB + (β + γ)·BC + (γ + α)·CA.

Каждый из коэффициентов α + β, β + γ, γ + α строго меньше 1, поскольку α, β, γ положительны и в сумме равны 1. Поэтому сумма справа строго меньше AB + BC + CA — периметра треугольника.

Ответ: PA + PB + PC < AB + BC + CA.