31. Дано: BM ⟂ AC, ∠1 = ∠2. Доказать: △ABM = △CBM.

1. Так как BM ⟂ AC, углы AMB и CMB прямые, следовательно, ∠AMB = ∠CMB.
2. Углы ABM и CBM обозначены на рисунке как ∠1 и ∠2. По условию они равны.
3. BM — общая сторона этих треугольников, заключённая между указанными равными углами.
4. Следовательно, △ABM = △CBM по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Ответ: △ABM = △CBM.