31) \(\frac{3^{17} · 6^{16}}{18^{15}}\)

Решение:

1. Разложим основания степеней на простые множители: \( 6 = 2 · 3 \) и \( 18 = 2 · 3^2 \).
2. Подставим разложения в выражение:
3. \( \frac{3^{17} · (2 · 3)^{16}}{(2 · 3^2)^{15}} \)
4. Используем свойство степени: \( (a · b)^n = a^n · b^n \).
5. \( \frac{3^{17} · 2^{16} · 3^{16}}{2^{15} · (3^2)^{15}} \)
6. Используем свойство степени: \( (a^m)^n = a^{m · n} \).
7. \( \frac{3^{17} · 2^{16} · 3^{16}}{2^{15} · 3^{2 · 15}} = \frac{3^{17} · 2^{16} · 3^{16}}{2^{15} · 3^{30}} \)
8. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и используем правило умножения степеней: \( a^m · a^n = a^{m+n} \).
9. \( \frac{2^{16} · 3^{17+16}}{2^{15} · 3^{30}} = \frac{2^{16} · 3^{33}}{2^{15} · 3^{30}} \)
10. Используем правило деления степеней с одинаковым основанием: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).
11. \( 2^{16-15} · 3^{33-30} = 2^1 · 3^3 \)
12. Вычисляем результат: \( 2 · 3^3 = 2 · 27 = 54 \).

Ответ: 54