31. На рисунке 6 AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁. Найдите отрезок BB₁, если AC₁ = 18 см, A₁C = 10 см.

Дано: AB = A₁B₁, BC = B₁C₁ и AC = A₁C₁. Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по трём сторонам.

По рисунку точки A, A₁, C, C₁ лежат на одной прямой в этом порядке. Обозначим AC = x, A₁C = y, CC₁ = z. Тогда A₁C₁ = y + z = x, поскольку AC = A₁C₁. Также AC₁ = x + z = 18, а A₁C = y = 10.

Из x = y + z и x + z = 18 получаем 10 + 2z = 18, значит z = 4 см. Тогда AC = A₁C₁ = 14 см.

Равные треугольники имеют равные соответствующие углы. Поскольку основания AC и A₁C₁ лежат на одной прямой, вершины B и B₁ находятся по одну сторону от неё, а равные треугольники с совпадающей длиной основания имеют одинаковую высоту и вершины совпадают. Поэтому BB₁ = 0 см.

Ответ: BB₁ = 0 см.