31. На рисунке 6 AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁. Найдите отрезок BB₁, если AC₁ = 18 см, A₁C = 10 см. На рисунке точки расположены на одной прямой в порядке A, A₁, C, C₁.

Обозначим \(AA₁=t\). Так как \(AC=A₁C₁\), а точки расположены в указанном порядке, отрезки \(AA₁\) и \(CC₁\) равны: \(CC₁=t\). Пусть \(AC=A₁C₁=x\).

Из \(A₁C=10\) см получаем \(x=t+10\). Отрезок \(AC₁\) состоит из частей \(AA₁\), \(A₁C\) и \(CC₁\), поэтому:

\(t+10+t=18\), откуда \(2t=8\) и \(t=4\) см.

По условиям равны все три соответствующие стороны треугольников \(ABC\) и \(A₁B₁C₁\), значит, треугольники равны по трём сторонам. На рисунке они расположены одинаково относительно прямой оснований; переход от одного основания к другому — перенос на \(t\). Следовательно, \(BB₁=t=4\) см.

Ответ: 4 см.