31.) Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 120°. Найдите большую и меньшую стороны треугольника, если их сумма равна 18 см.

Краткая запись:

• Прямоугольный треугольник.
• Один внешний угол = 120°.
• Сумма большей и меньшей сторон = 18 см.
• Найти: Большую и меньшую стороны.

Пошаговое решение:

1. Пусть данный прямоугольный треугольник имеет углы \( \alpha \), \( \beta \) и 90°.
2. Внешний угол при вершине острого угла равен 120°. Смежный с ним внутренний угол тогда равен \( 180° - 120° = 60° \).
3. Таким образом, внутренние углы треугольника равны 90°, 60° и \( 180° - 90° - 60° = 30° \).
4. Сторона, противолежащая углу 30°, является меньшим катетом (обозначим его \( a \)), а сторона, противолежащая углу 60°, является большим катетом (обозначим его \( b \)).
5. По условию задачи, сумма большей и меньшей сторон равна 18 см: \( a + b = 18 \) см.
6. Из свойств прямоугольного треугольника известно, что \( b = a \cdot \sqrt{3} \).
7. Подставим это в уравнение: \( a + a \cdot \sqrt{3} = 18 \).
8. Вынесем \( a \) за скобки: \( a(1 + \sqrt{3}) = 18 \).
9. Найдем \( a \): \( a = \frac{18}{1 + \sqrt{3}} \).
10. Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на \( 1 - \sqrt{3} \): \( a = \frac{18(1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{18(1 - \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{18(1 - \sqrt{3})}{-2} = -9(1 - \sqrt{3}) = 9(\sqrt{3} - 1) \) см.
11. Найдем \( b \): \( b = 18 - a = 18 - 9(\sqrt{3} - 1) = 18 - 9\sqrt{3} + 9 = 27 - 9\sqrt{3} = 9(3 - \sqrt{3}) \) см.

Ответ: Меньшая сторона \( 9(\sqrt{3} - 1) \) см, большая сторона \( 9(3 - \sqrt{3}) \) см.