33.) В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АС, равной 12 см проведена высота BD. Найдите CD, DA если < А = 30°.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC \( \angle A = 30° \), \( \angle ABC = 90° \), \( \angle C = 180° - 90° - 30° = 60° \).

2. Гипотенуза \( AC = 12 \) см.

3. Высота BD проведена из вершины прямого угла.

4. В прямоугольном треугольнике ABD: \( \angle A = 30° \), \( \angle ADB = 90° \).

5. Катет DA лежит напротив угла, равного \( \angle C = 60° \) в треугольнике ABC, или напротив угла \( \angle ABD = 90° - 30° = 60° \) в треугольнике ABD.

6. \( DA = AC \cdot \cos A = 12 \cdot \cos 30° = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \) см.

7. В прямоугольном треугольнике BDC: \( \angle C = 60° \), \( \angle BDC = 90° \).

8. \( CD = AC \cdot \cos C = 12 \cdot \cos 60° = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \) см.

Ответ: CD = 6 см, DA = \( 6\sqrt{3} \) см.