32.) В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой ВС и углом В равным 60°, проведена высота AD. Найдите DC, если DB = 2 см.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC \( \angle B = 60° \), \( \angle BAC = 90° - 60° = 30° \).

2. Высота AD делит прямоугольный треугольник ABC на два подобных прямоугольных треугольника: ABD и CAD.

3. В прямоугольном треугольнике ABD: \( \angle B = 60° \), \( \angle ADB = 90° \), \( \angle BAD = 180° - 90° - 60° = 30° \).

4. По условию \( DB = 2 \) см.

5. В треугольнике ABD катет AD лежит напротив угла 60°, а катет DB — напротив угла 30°.

6. Используем соотношение катетов: \( AD = DB \cdot \tan 60° = 2 \cdot \sqrt{3} \) см.

7. Также \( AB = \frac{DB}{\cos 60°} = \frac{2}{1/2} = 4 \) см.

8. В прямоугольном треугольнике ABC: \( AC = AB \cdot \sin 60° = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \) см.

9. В прямоугольном треугольнике ADC: \( \angle ADC = 90° \), \( \angle C = 180° - 90° - 60° = 30° \).

10. В треугольнике ADC: \( DC = \frac{AC}{\tan 30°} = \frac{2\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6 \) см.

Ответ: 6 см.