№31. Отрезок AB = 32 касается окружности радиуса 24 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.

Радиус \(OB\) перпендикулярен касательной \(AB\), поэтому треугольник \(AOB\) прямоугольный:

\[AO=\sqrt{AB^2+OB^2}=\sqrt{32^2+24^2}=\sqrt{1600}=40\text{ см}.\]

Точка \(D\) лежит на отрезке \(AO\) и окружности, поэтому \(OD=24\) см. Следовательно,

\[AD=AO-OD=40-24=16\text{ см}.\]

Ответ: 16 см.