311. Докажите свойство отклонений от среднего арифметического. Пусть дан набор чисел \(x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n\), и его среднее арифметическое равно \(\bar{x}\). Покажите, что сумма всех отклонений равна нулю: \((x_1-\bar{x})+(x_2-\bar{x})+(x_3-\bar{x})+\ldots+(x_n-\bar{x})=0\).

По определению среднего арифметического набора чисел \(\bar{x}=(x_1+x_2+\ldots+x_n)/n\), поэтому \(x_1+x_2+\ldots+x_n=n\bar{x}\).

Сложим все отклонения и сгруппируем слагаемые:

\((x_1-\bar{x})+(x_2-\bar{x})+\ldots+(x_n-\bar{x})=(x_1+x_2+\ldots+x_n)-n\bar{x}\).

Подставим равенство \(x_1+x_2+\ldots+x_n=n\bar{x}\): получим \(n\bar{x}-n\bar{x}=0\).

Следовательно, сумма отклонений всех чисел от их среднего арифметического равна нулю.