311. Докажите свойство отклонений от среднего арифметического. Пусть дан набор чисел x₁, x₂, x₃, ..., xₙ, и их среднее арифметическое равно x̄. Покажите, что сумма всех отклонений равна нулю: (x₁ − x̄) + (x₂ − x̄) + (x₃ − x̄) + ... + (xₙ − x̄) = 0.

По определению среднего арифметического:

\[\bar{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+\dots+x_n}{n}.\]

Отсюда:

\[x_1+x_2+x_3+\dots+x_n=n\bar{x}.\]

Сгруппируем сумму отклонений:

\[(x_1-\bar{x})+(x_2-\bar{x})+\dots+(x_n-\bar{x})\]

\[=(x_1+x_2+\dots+x_n)-n\bar{x}.\]

Подставим равенство \(x_1+x_2+\dots+x_n=n\bar{x}\):

\[n\bar{x}-n\bar{x}=0.\]

Следовательно, сумма всех отклонений от среднего арифметического равна нулю.