311. Отметьте точку O и начертите прямую l так, чтобы O ∉ l. Постройте прямую, в которую переходит прямая l при гомотетии с центром в точке O и коэффициентом k, если: а) k = 2; б) k = −0,5; в) k = −3; г) k = 3.

Так как O не лежит на прямой l, её образ при гомотетии также является прямой, параллельной l.

Проведём через O две произвольные секущие прямой l, пересекающие её в точках A и B. Построим их образы A₁ и B₁ по правилу \(\overrightarrow{OA_1}=k\overrightarrow{OA}\), \(\overrightarrow{OB_1}=k\overrightarrow{OB}\). Прямая A₁B₁ — искомый образ прямой l.

• а) k = 2: A₁ и B₁ находятся на тех же лучах, что A и B, на удвоенных расстояниях от O. Прямая A₁B₁ параллельна l и расположена дальше от O.
• б) k = −0,5: A₁ и B₁ находятся на противоположных лучах, на расстояниях, равных половине расстояний OA и OB. Прямая образ расположена по другую сторону от O.
• в) k = −3: A₁ и B₁ находятся на противоположных лучах, на расстояниях, втрое больших исходных. Образ расположена по другую сторону от O.
• г) k = 3: A₁ и B₁ находятся на тех же лучах, на расстояниях, втрое больших исходных. Образ расположена дальше от O, чем l.

Ответ: во всех четырёх случаях образ прямой l — прямая, параллельная l; при положительном k она находится на той же стороне от O, а при отрицательном k — на противоположной стороне.