312. При делении многочлена на x + 3 остаток равен 10, а при делении его на x + 5 остаток равен 14. Найти остаток при делении этого многочлена на x² + 8x + 15.

Разложим делитель: \(x^2+8x+15=(x+3)(x+5)\). Остаток при делении на квадратный многочлен имеет степень меньше 2, поэтому обозначим его \(R(x)=mx+n\).

По теореме об остатке: \(R(-3)=10\) и \(R(-5)=14\). Получаем систему: \(-3m+n=10\), \(-5m+n=14\).

Вычитаем первое уравнение из второго: \(-2m=4\), откуда \(m=-2\). Подставляем: \(6+n=10\), значит, \(n=4\).

Ответ: остаток равен \(-2x+4\).