313. При делении многочлена на x + 2 остаток равен 6, при делении его на x − 3 остаток равен 26, а при делении его на x + 4 остаток равен 12. Найти остаток при делении этого многочлена на (x + 2)(x − 3)(x + 4).

Остаток при делении на многочлен третьей степени имеет степень не выше второй. Обозначим его \(R(x)=ax^2+bx+c\).

По теореме об остатке: \(R(-2)=6\), \(R(3)=26\), \(R(-4)=12\). Поэтому:

\(4a-2b+c=6\),
\(9a+3b+c=26\),
\(16a-4b+c=12\).

Вычтем первое уравнение из второго: \(5a+5b=20\), то есть \(a+b=4\). Вычтем первое из третьего: \(12a-2b=6\), то есть \(6a-b=3\). Решая эти уравнения, получаем \(a=1\), \(b=3\). Из первого уравнения следует \(c=8\).

Ответ: остаток равен \(x^2+3x+8\).