314. Найти такие числа b и c, чтобы многочлен x⁵ + bx⁴ + cx³ делился на x + 2 и x − 3.

По теореме Безу делимость на x + 2 требует, чтобы значение многочлена при x = −2 было равно нулю, а делимость на x − 3 — чтобы оно равнялось нулю при x = 3.

Подставим x = −2:

−32 + 16b − 8c = 0, следовательно, 2b − c = 4.

Подставим x = 3:

243 + 81b + 27c = 0, следовательно, 3b + c = −9.

Из первого равенства c = 2b − 4. Подставляем во второе: 3b + 2b − 4 = −9, откуда 5b = −5 и b = −1. Тогда c = 2(−1) − 4 = −6.

Ответ: b = −1, c = −6.