32.10. a) y = x² + 4x - 3; б) y = -x² + 6x - 4; в) y = 2x² - 4x + 7; г) y = x² - 4x + 5; д) y = -x² - 8x - 11; e) y = -1/2x² - 6x - 13.

Построение графиков квадратичных функций

Для построения графиков квадратичных функций вида y = ax² + bx + c необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить направление ветвей параболы: Если a > 0, ветви направлены вверх. Если a < 0, ветви направлены вниз.
2. Найти вершину параболы: Координаты вершины (x₀, y₀) вычисляются по формулам:
   x₀ = -b / 2a
y₀ = ax₀² + bx₀ + c
3. Найти точки пересечения с осями:
   - С осью y (x=0): y = c. Точка (0, c).
   - С осью x (y=0): Решить квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Точки (x₁, 0), (x₂, 0).
4. Найти дополнительные точки: Выбрать несколько значений x, вычислить соответствующие значения y и нанести точки на график. Не забывайте про симметрию относительно оси параболы.

Примеры для построения:

32.10. a) y = x² + 4x - 3

• a = 1 (ветви вверх)
• x₀ = -4 / (2*1) = -2
• y₀ = (-2)² + 4(-2) - 3 = 4 - 8 - 3 = -7. Вершина: (-2, -7)
• Пересечение с y: (0, -3)
• Пересечение с x: x² + 4x - 3 = 0. D = 16 - 4(1)(-3) = 16 + 12 = 28. x = (-4 ± √28) / 2.

32.10. б) y = -x² + 6x - 4

• a = -1 (ветви вниз)
• x₀ = -6 / (2*(-1)) = 3
• y₀ = -(3)² + 6(3) - 4 = -9 + 18 - 4 = 5. Вершина: (3, 5)
• Пересечение с y: (0, -4)
• Пересечение с x: -x² + 6x - 4 = 0. x² - 6x + 4 = 0. D = 36 - 4(1)(4) = 36 - 16 = 20. x = (6 ± √20) / 2.

32.10. в) y = 2x² - 4x + 7

• a = 2 (ветви вверх)
• x₀ = -(-4) / (2*2) = 4 / 4 = 1
• y₀ = 2(1)² - 4(1) + 7 = 2 - 4 + 7 = 5. Вершина: (1, 5)
• Пересечение с y: (0, 7)
• Пересечение с x: 2x² - 4x + 7 = 0. D = 16 - 4(2)(7) = 16 - 56 = -40. Нет пересечения с x.

32.10. г) y = x² - 4x + 5

• a = 1 (ветви вверх)
• x₀ = -(-4) / (2*1) = 2
• y₀ = (2)² - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1. Вершина: (2, 1)
• Пересечение с y: (0, 5)
• Пересечение с x: x² - 4x + 5 = 0. D = 16 - 4(1)(5) = 16 - 20 = -4. Нет пересечения с x.

32.10. д) y = -x² - 8x - 11

• a = -1 (ветви вниз)
• x₀ = -(-8) / (2*(-1)) = 8 / -2 = -4
• y₀ = -(-4)² - 8(-4) - 11 = -16 + 32 - 11 = 5. Вершина: (-4, 5)
• Пересечение с y: (0, -11)
• Пересечение с x: -x² - 8x - 11 = 0. x² + 8x + 11 = 0. D = 64 - 4(1)(11) = 64 - 44 = 20. x = (-8 ± √20) / 2.

32.10. е) y = -1/2x² - 6x - 13

• a = -1/2 (ветви вниз)
• x₀ = -(-6) / (2*(-1/2)) = 6 / -1 = -6
• y₀ = -1/2(-6)² - 6(-6) - 13 = -1/2(36) + 36 - 13 = -18 + 36 - 13 = 5. Вершина: (-6, 5)
• Пересечение с y: (0, -13)
• Пересечение с x: -1/2x² - 6x - 13 = 0. x² + 12x + 26 = 0. D = 144 - 4(1)(26) = 144 - 104 = 40. x = (-12 ± √40) / 2.