329. а) В треугольнике ABC проведена биссектриса AN, угол ANC равен 67°, а угол ABC равен 40°. Найдите угол ACB. б) В треугольнике ABC проведена биссектриса AN, угол ANB равен 117°, а угол ACB равен 67°. Найдите угол ABC.

1. а) Обозначим ∠A = α, ∠C = γ. Так как AN — биссектриса, то ∠NAC = α/2.

   Для треугольника ANC:

   α/2 + γ + 67° = 180°, поэтому α/2 + γ = 113°.

   Для треугольника ABC:

   α + γ = 180° − 40° = 140°.

   Вычитаем первое равенство из второго:

   α/2 = 27°, значит α = 54°.

   γ = 140° − 54° = 86°.

2. б) Обозначим ∠A = α, ∠B = β. Для треугольника ABN:

   α/2 + β + 117° = 180°, поэтому α/2 + β = 63°.

   Для треугольника ABC:

   α + β = 180° − 67° = 113°.

   Вычитая первое равенство из второго, получаем:

   α/2 = 50°, значит α = 100°.

   β = 113° − 100° = 13°.

Ответ: а) ∠ACB = 86°; б) ∠ABC = 13°.