335 В каждом из следующих случаев определите вид треугольника: а) сумма любых двух углов больше 90°; б) каждый угол меньше суммы двух других углов.

Решение:

а) сумма любых двух углов больше 90°

Пусть углы треугольника равны \( \alpha, \beta, \gamma \).

Условие: \( \alpha + \beta > 90^\circ \), \( \alpha + \gamma > 90^\circ \), \( \beta + \gamma > 90^\circ \).

Мы знаем, что \( \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \).

Из \( \alpha + \beta > 90^\circ \) следует \( 180^\circ - \gamma > 90^\circ \), что означает \( 90^\circ > \gamma \).

Аналогично, \( 90^\circ > \beta \) и \( 90^\circ > \alpha \).

Таким образом, все три угла треугольника меньше \( 90^\circ \).

Вывод: Треугольник остроугольный.

б) каждый угол меньше суммы двух других углов

Условие: \( \alpha < \beta + \gamma \), \( \beta < \alpha + \gamma \), \( \gamma < \alpha + \beta \).

Подставим \( \beta + \gamma = 180^\circ - \alpha \) в первое неравенство: \( \alpha < 180^\circ - \alpha \) \( \implies 2\alpha < 180^\circ \) \( \implies \alpha < 90^\circ \).

Аналогично, из второго неравенства следует \( \beta < 90^\circ \), а из третьего — \( \gamma < 90^\circ \).

Таким образом, все углы треугольника меньше \( 90^\circ \).

Вывод: Треугольник остроугольный.

Ответ: В обоих случаях треугольник остроугольный.