336 Докажите, что угол треугольника является острым, прямым или тупым, если медиана, проведённая из вершины этого угла, соответственно больше, равна или меньше половины

Решение:

Пусть дан треугольник \( \triangle ABC \) и медиана \( AM \) проведена из вершины \( A \) к стороне \( BC \).

Рассмотрим длину медианы \( AM \) по сравнению с половиной стороны \( BC \), то есть \( \frac{1}{2} BC \).

Случай 1: Медиана больше половины противолежащей стороны.

\( AM > \frac{1}{2} BC \).

Если \( AM > \frac{1}{2} BC \), то точка \( A \) находится дальше от середины \( BC \) (точка \( M \)) чем точка, из которой опущен перпендикуляр на \( BC \) (вершина прямого угла).

Представим, что мы строим окружность с центром в \( M \) и радиусом \( R = \frac{1}{2} BC \). Эта окружность будет проходить через точки \( B \) и \( C \).

Если \( AM > R \), то точка \( A \) лежит вне окружности. Это означает, что угол \( \angle BAC \) является тупым, так как он опирается на дугу, большую половины окружности.

Случай 2: Медиана равна половине противолежащей стороны.

\( AM = \frac{1}{2} BC \).

Если \( AM = R \), то точка \( A \) лежит на окружности. Это означает, что угол \( \angle BAC \) является прямым, так как он опирается на половину окружности (диаметр).

Случай 3: Медиана меньше половины противолежащей стороны.

\( AM < \frac{1}{2} BC \).

Если \( AM < R \), то точка \( A \) лежит внутри окружности. Это означает, что угол \( \angle BAC \) является острым, так как он опирается на дугу, меньшую половины окружности.

Вывод:

• Если медиана, проведённая из вершины угла, больше половины противолежащей стороны, то угол тупой.
• Если медиана, проведённая из вершины угла, равна половине противолежащей стороны, то угол прямой.
• Если медиана, проведённая из вершины угла, меньше половины противолежащей стороны, то угол острый.

Что и требовалось доказать.