Задачи к главам III и IV 333 Прямые, содержащие биссектрисы внешних углов при вершинах В и С треугольника АВС, пересекаются в точке О. Найдите угол ВОС, если угол А равен α.

Решение:

Пусть \( \angle A = \alpha \).

Пусть \( BO \) — биссектриса внешнего угла при вершине \( B \), а \( CO \) — биссектриса внешнего угла при вершине \( C \).

Сумма внешних углов треугольника равна \( 360^\circ \).

Внешний угол при вершине \( A \) равен \( 180^\circ - \alpha \).

Сумма внешних углов при вершинах \( B \) и \( C \) равна \( 360^\circ - (180^\circ - \alpha) = 180^\circ + \alpha \).

В треугольнике \( \triangle BOC \):

\( \angle OBC = \frac{1}{2} \) (внешний угол при \( B \))

\( \angle OCB = \frac{1}{2} \) (внешний угол при \( C \))

Следовательно, \( \angle OBC + \angle OCB = \frac{1}{2} (\text{внешний угол при } B + \text{внешний угол при } C) = \frac{1}{2} (180^\circ + \alpha) = 90^\circ + \frac{\alpha}{2} \).

Сумма углов в \( \triangle BOC \) равна \( 180^\circ \).

\( \angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ \)

\( \angle BOC + 90^\circ + \frac{\alpha}{2} = 180^\circ \)

\( \angle BOC = 180^\circ - 90^\circ - \frac{\alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} \).

Ответ: \( \angle BOC = 90^\circ - \frac{\alpha}{2} \).