34. Две стороны треугольника равны 2√3 см и 8 см. Найдите третью сторону треугольника, если она равна радиусу окружности, описанной около данного треугольника.

Пусть третья сторона равна x см. По условию x также является радиусом описанной окружности R. Для любой стороны треугольника a выполняется a = 2R sin α, поэтому a ≤ 2R.

Применим это к стороне 8 см: 8 ≤ 2x, откуда x ≥ 4.

Неравенство треугольника для сторон 2√3, 8 и x даёт x > 8 − 2√3. Это условие выполняется при x ≥ 4, поскольку 8 − 2√3 < 4. Другие неравенства треугольника также выполняются.

Следовательно, подходят любые x ≥ 4: для каждого такого x стороны 2√3, 8 и x образуют треугольник, а угол напротив стороны 8 можно выбрать так, чтобы sin α = 8/(2x); тогда радиус описанной окружности равен x.

Ответ: единственного значения нет; третья сторона может быть любой длины не меньше 4 см.