34. Площадь прямоугольного треугольника равна 24. Один из его катетов на 2 больше другого. Найдите меньший катет.

Решение:

Пусть меньший катет равен \( x \). Тогда больший катет равен \( x + 2 \). Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: \( S = \frac{1}{2}ab \).

1. Запишем уравнение, исходя из условия задачи:

$$ \frac{1}{2} \cdot x \cdot (x + 2) = 24 $$

1. Умножим обе части уравнения на 2:

$$ x(x + 2) = 48 $$

1. Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному виду квадратного уравнения:

$$ x^2 + 2x - 48 = 0 $$

1. Найдем дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 \).
2. Найдем корни уравнения: \( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{196}}{2} = \frac{-2 + 14}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) и \( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{196}}{2} = \frac{-2 - 14}{2} = \frac{-16}{2} = -8 \).
3. Так как длина катета не может быть отрицательной, выбираем положительный корень: \( x = 6 \).

Ответ: 6.