34. В окружности с центром O проведены диаметры AC и BD (рис. 49). Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником. Найдите отрезок BD, если AD = 7 см, ∠ACD = 30°.

Доказательство. Диаметры AC и BD пересекаются в центре O и делятся им пополам. Значит, диагонали четырёхугольника ABCD взаимно делятся пополам, поэтому ABCD — параллелограмм. Он вписан в окружность, а у вписанного четырёхугольника противоположные углы в сумме дают 180°. В параллелограмме противоположные углы равны, следовательно, каждый из них равен 90°. Значит, ABCD — прямоугольник.

Так как AC — диаметр, ∠ADC = 90°. В прямоугольном треугольнике ACD сторона AD лежит напротив угла 30°, поэтому она равна половине гипотенузы AC.

AC = 2 · AD = 2 · 7 = 14 см. Диаметры одной окружности равны, значит BD = AC = 14 см.

Ответ: BD = 14 см.