34. В окружности с центром O проведены диаметры AC и BD (рис. 8). Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником. Найдите отрезок BC, если AC = 18 см, ∠ABD = 30°.

Так как AC и BD — диаметры, они пересекаются в центре O и делятся им пополам. Следовательно, диагонали четырёхугольника ABCD взаимно делятся пополам, значит, ABCD — параллелограмм.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°. Поэтому ∠ABC = 90°, так как он опирается на AC. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником; следовательно, ABCD — прямоугольник.

В прямоугольном треугольнике ABD гипотенуза AD равна AC, поскольку диагонали прямоугольника равны. Значит, AD = 18 см. Угол ABD равен 30°, поэтому катет AD, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы: AD = BD / 2. Отсюда BD = 36 см.

Диагонали прямоугольника равны, поэтому BC = AD = 18 см.

Ответ: BC = 18 см.