34. В окружности с центром O проведены диаметры AC и BD (рис. 90). Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником. Найдите угол ABD, если AC = 12 см, BC = 6 см.

Так как AC и BD — диаметры, они равны и делятся пополам в точке O. Следовательно, диагонали четырёхугольника ABCD взаимно делятся пополам и равны. По признаку параллелограмма ABCD — параллелограмм; параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.

В прямоугольнике треугольник ABC прямоугольный, причём гипотенуза AC = 12 см, катет BC = 6 см. Угол ABD равен углу между AB и BD. Поскольку AD ∥ BC, а BD перпендикулярна AC не требуется; используем равнобедренность треугольника ABD: AB = CD, а также стороны прямоугольника дают отношение диагонали к стороне. Найдём AB по теореме Пифагора: AB = √(AC² − BC²) = √(144 − 36) = 6√3 см. Диагональ BD равна AC = 12 см. В треугольнике ABD угол при A прямой, поэтому sin ∠ABD = AD/BD. Здесь AD = BC = 6 см, значит sin ∠ABD = 1/2.

Ответ: ∠ABD = 30°.