340 Докажите, что середины параллельных хорд лежат на одном диаметре.

Решение:

Пусть даны две параллельные хорды AB и CD окружности с центром O.

Свойство: Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам.

Шаг 1: Построение перпендикуляра.

Проведем прямую через центр O, которая перпендикулярна одной из хорд, например AB. Так как AB и CD параллельны, эта прямая будет перпендикулярна и хорде CD.

Шаг 2: Свойство перпендикуляра.

Пусть эта прямая пересекает хорду AB в точке M, а хорду CD в точке N.

По свойству перпендикуляра, опущенного из центра окружности на хорду:

• OM ⊥ AB, значит, M — середина хорды AB.
• ON ⊥ CD, значит, N — середина хорды CD.

Шаг 3: Расположение середин.

Точки M и N лежат на прямой, которая проходит через центр O и перпендикулярна обеим хордам AB и CD. Эта прямая и есть часть диаметра.

Следовательно, середины M и N параллельных хорд AB и CD лежат на одной прямой, которая проходит через центр окружности. Эта прямая является диаметром (или частью диаметра, если хорды не проходят через центр).

Дополнительное пояснение:

Если одна из хорд является диаметром, то ее середина — это центр окружности. Параллельная ей хорда будет иметь середину на том же диаметре, так как перпендикуляр из центра на эту хорду будет делить ее пополам.

Ответ: Середины параллельных хорд лежат на одном диаметре, потому что перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. Параллельные прямые, пересеченные секущей (диаметром), отсекают на ней равные отрезки от перпендикуляра, проведенного из центра.