340 Докажите, что середины параллельных хорд лежат на одном диаметре.

Решение:

Пусть даны две параллельные хорды AB и CD окружности с центром O.

Проведем перпендикуляр из центра O к хорде AB. Этот перпендикуляр будет проходить через середину хорды AB (свойство хорды и перпендикуляра из центра).

Аналогично, проведем перпендикуляр из центра O к хорде CD. Этот перпендикуляр также будет проходить через середину хорды CD.

Так как хорды AB и CD параллельны, то перпендикуляр, опущенный из центра O на одну из них, будет перпендикулярен и к другой хорде. Это означает, что обе хорды лежат на одной прямой, перпендикулярной этому перпендикуляру из центра. Или, если смотреть с другой стороны, прямая, проходящая через середины параллельных хорд, будет перпендикулярна этим хордам.

Прямая, проходящая через центр окружности и перпендикулярная хорде, делит эту хорду пополам. Поэтому, если мы проведем прямую через центр O, перпендикулярную хорде AB, она пройдет через середину AB. Так как AB || CD, эта же прямая будет перпендикулярна и CD, а значит, пройдет через середину CD.

Таким образом, прямая, проходящая через центр O и середины хорд AB и CD, является общим перпендикуляром к этим хордам. Эта прямая, проходящая через центр, является диаметром.

Следовательно, середины параллельных хорд лежат на одном диаметре.

Ответ: Середины параллельных хорд лежат на одном диаметре.