343 В таблице 27 дано совместное распределение случайных величин X и Y. Вычислите вероятность: a) P(|X - Y| < 3); б) P(X + Y > 5).

Решение:

Используем данные из таблицы 27.

а) \( P(|X - Y| < 3) \)

Рассмотрим все возможные пары (X, Y) и вычислим \( |X - Y| \):

• Для \( (X, Y) = (-4, 5) \): \( |-4 - 5| = |-9| = 9 \). \( 9 \not< 3 \).
• Для \( (X, Y) = (-4, 7) \): \( |-4 - 7| = |-11| = 11 \). \( 11 \not< 3 \).
• Для \( (X, Y) = (-4, 10) \): \( |-4 - 10| = |-14| = 14 \). \( 14 \not< 3 \).
• Для \( (X, Y) = (5, 5) \): \( |5 - 5| = |0| = 0 \). \( 0 < 3 \). Вероятность \( \frac{1}{9} \).
• Для \( (X, Y) = (5, 7) \): \( |5 - 7| = |-2| = 2 \). \( 2 < 3 \). Вероятность \( \frac{2}{9} \).
• Для \( (X, Y) = (5, 10) \): \( |5 - 10| = |-5| = 5 \). \( 5 \not< 3 \).

Суммируем вероятности пар, для которых \( |X - Y| < 3 \): \( P(|X - Y| < 3) = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \).

б) \( P(X + Y > 5) \)

Рассмотрим все возможные пары (X, Y) и вычислим \( X + Y \):

• Для \( (X, Y) = (-4, 5) \): \( -4 + 5 = 1 \). \( 1 \not> 5 \).
• Для \( (X, Y) = (-4, 7) \): \( -4 + 7 = 3 \). \( 3 \not> 5 \).
• Для \( (X, Y) = (-4, 10) \): \( -4 + 10 = 6 \). \( 6 > 5 \). Вероятность \( \frac{1}{6} \).
• Для \( (X, Y) = (5, 5) \): \( 5 + 5 = 10 \). \( 10 > 5 \). Вероятность \( \frac{1}{9} \).
• Для \( (X, Y) = (5, 7) \): \( 5 + 7 = 12 \). \( 12 > 5 \). Вероятность \( \frac{2}{9} \).
• Для \( (X, Y) = (5, 10) \): \( 5 + 10 = 15 \). \( 15 > 5 \). Вероятность \( \frac{1}{3} \).

Суммируем вероятности пар, для которых \( X + Y > 5 \): \( P(X + Y > 5) = \frac{1}{6} + \frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{1}{3} = \frac{3}{18} + \frac{2}{18} + \frac{4}{18} + \frac{6}{18} = \frac{3+2+4+6}{18} = \frac{15}{18} = \frac{5}{6} \).

Ответ: а) \( \frac{1}{3} \); б) \( \frac{5}{6} \).