344. Замените показатели m и n числами так, чтобы получилось равенство, верное при всех значениях переменных a и b: а) (aᵐb⁴)⁶=(a⁹bⁿ)²; б) (a¹²bⁿ)⁶=(aᵐb³)⁴.

Используем правило возведения степени в степень: \((x^k)^r=x^{kr}\). Для тождественного равенства при любых \(a\) и \(b\) показатели соответствующих переменных должны быть равны.

а)

\((a^mb^4)^6=a^{6m}b^{24}\), а \((a^9b^n)^2=a^{18}b^{2n}\).

Сравниваем показатели: \(6m=18\), откуда \(m=3\); \(24=2n\), откуда \(n=12\).

б)

\((a^{12}b^n)^6=a^{72}b^{6n}\), а \((a^mb^3)^4=a^{4m}b^{12}\).

Сравниваем показатели: \(72=4m\), откуда \(m=18\); \(6n=12\), откуда \(n=2\).

Ответ: а) \(m=3,\ n=12\); б) \(m=18,\ n=2\).