35. а) В треугольнике ABC стороны AB, BC и AC соответственно равны 8, 12 и 16. Биссектриса AL и медиана BM пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника ABO. б) В треугольнике ABC стороны AB, BC и AC соответственно равны 8, 12 и 10. Биссектрисы AL и BK пересекаются в точке E. Найдите площадь треугольника ABE.

а) По формуле Герона площадь треугольника ABC равна: \(s=(8+12+16)/2=18\), \(S_{ABC}=\sqrt{18\cdot10\cdot6\cdot2}=12\sqrt{15}\).

Биссектриса AL делит BC в отношении BL:LC=AB:AC=1:2. Возьмём координаты-барицентрические веса вершин A, B, C. Для точки на AL отношение весов C и B равно 1:2; для точки на медиане BM веса A и C равны. Поэтому для O веса пропорциональны 1:2:1, а вес C после нормировки равен 1/4. Следовательно, \(S_{ABO}=\frac14S_{ABC}=3\sqrt{15}\).

б) По формуле Герона: \(s=(8+12+10)/2=15\), \(S_{ABC}=\sqrt{15\cdot3\cdot5\cdot7}=15\sqrt7\).

Точка пересечения биссектрис — инцентр. Его барицентрические веса пропорциональны длинам противоположных сторон: A:B:C=12:10:8. Доля площади треугольника ABE от площади ABC равна весу C, то есть \(8/(12+10+8)=4/15\). Поэтому \(S_{ABE}=\frac4{15}\cdot15\sqrt7=4\sqrt7\).

Ответ: а) \(3\sqrt{15}\); б) \(4\sqrt7\).