37. а) Найдите площадь остроугольного равнобедренного треугольника с основанием 24, если известно, что радиус описанной около него окружности равен 13. б) Найдите периметр тупоугольного равнобедренного треугольника, если известно, что высота, опущенная на основание, равна 6, а радиус описанной около него окружности равен \(25/3\).

а) Высота равнобедренного треугольника делит основание 24 пополам: половина основания равна 12. Перпендикуляр от центра описанной окружности к хорде делит её пополам, поэтому расстояние от центра до основания равно \(\sqrt{13^2-12^2}=5\).

Возможная высота треугольника равна либо \(13+5=18\), либо \(13-5=8\). При высоте 8 вершина угла противоположна основанию и треугольник тупоугольный; по условию подходит высота 18. Тогда \(S=\frac12\cdot24\cdot18=216\).

б) Пусть равные боковые стороны равны \(l\), основание — \(b\), а высота к основанию равна 6. Площадь равна \(bh/2\), а радиус описанной окружности \(R=\frac{l^2b}{4S}=\frac{l^2}{2h}\). Поэтому \(l^2=2hR=2\cdot6\cdot\frac{25}{3}=100\), то есть \(l=10\).

Высота делит основание пополам. По теореме Пифагора половина основания равна \(\sqrt{10^2-6^2}=8\), значит, \(b=16\). Периметр: \(P=10+10+16=36\).

Ответ: а) 216; б) 36.