350. Начертите угол АВС, градусная мера которого составляет 120°. Проведите луч BD так, чтобы градусная мера угла ABD была равна 40°. Вычислите градусную меру угла DBC. Сколько решений имеет задача?

Решение:

1. Строим угол \( \angle ABC = 120^{\circ} \).

2. Проводим луч \( BD \) так, чтобы \( \angle ABD = 40^{\circ} \).

3. Так как луч \( BD \) находится внутри угла \( \angle ABC \), то \( \angle ABC = \angle ABD + \angle DBC \).

4. Вычисляем \( \angle DBC \): \( \angle DBC = \angle ABC - \angle ABD = 120^{\circ} - 40^{\circ} = 80^{\circ} \).

Первое решение: \( \angle DBC = 80^{\circ} \).

Второе решение:

Можно провести луч \( BD \) так, что угол \( \angle ABD = 40^{\circ} \) будет смежным с \( \angle ABC \) и лежать вне основного угла. В этом случае, угол \( \angle DBC \) будет равен \( 360^{\circ} - 120^{\circ} - 40^{\circ} = 200^{\circ} \), если считать по часовой стрелке, или \( 120^{\circ} + 40^{\circ} = 160^{\circ} \) если угол \( \angle DBC \) получается как сумма \( \angle ABC \) и \( \angle ABD \) при общем луче \( BC \) и \( BD \) в противоположные стороны. Но по условию луч \( BD \) проводится так, чтобы \( \angle ABD = 40^{\circ} \). В таком случае, луч \( BD \) может располагаться как внутри \( \angle ABC \), так и снаружи. Если луч \( BD \) расположен так, что \( B \) является вершиной, а \( BA \) и \( BC \) — лучи, образующие \( 120^{\circ} \). То луч \( BD \) может быть внутри, тогда \( \angle ABD = 40^{\circ} \), \( \angle DBC = 120^{\circ} - 40^{\circ} = 80^{\circ} \).

Если луч \( BD \) будет расположен снаружи \( \angle ABC \), то есть \( BA \) будет между \( BD \) и \( BC \), тогда \( \angle DBC = \angle DBA + \angle ABC = 40^{\circ} + 120^{\circ} = 160^{\circ} \).

Ответ: Задача имеет два решения: \( 80^{\circ} \) и \( 160^{\circ} \).