359. Докажите справедливость равенства: а) ∫ от 0 до π/4 dx/cos² x = ∫ от 0 до 1 dx; б) ∫ от 0 до π/3 sin x dx = ∫ от 1/16 до 1/4 dx/√x; в) ∫ от 0 до π/2 cos x dx = ∫ от 0 до ∛3 x² dx; г) ∫ от 0 до 1 (2x + 1) dx = ∫ от 0 до 2 (x³ − 1) dx.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) Левая часть: ∫₀^π/4 dx/cos² x = [tan x]₀^π/4 = 1. Правая часть: ∫₀¹ dx = [x]₀¹ = 1. Следовательно, равенство верно.
б) Левая часть: ∫₀^π/3 sin x dx = [−cos x]₀^π/3 = −1/2 + 1 = 1/2. Правая часть: ∫_1/16^1/4 dx/√x = [2√x]_1/16^1/4 = 1 − 1/2 = 1/2. Следовательно, равенство верно.
в) Левая часть: ∫₀^π/2 cos x dx = [sin x]₀^π/2 = 1. Правая часть: ∫₀^∛3 x² dx = [x³/3]₀^∛3 = 3/3 = 1. Следовательно, равенство верно.
г) Левая часть: ∫₀¹ (2x + 1) dx = [x² + x]₀¹ = 2. Правая часть: ∫₀² (x³ − 1) dx = [x⁴/4 − x]₀² = 4 − 2 = 2. Следовательно, равенство верно.

Ответ: