36. Найдите площадь каждого из закрашенных треугольников на рисунке 48, а—г.

а) На рисунке сторона подписана как \(5\sqrt{2}\), другая сторона равна \(5\), а угол между ними — \(45^\circ\). Используем формулу площади через две стороны и угол между ними:

\(S=\frac12 ab\sin\gamma=\frac12\cdot5\sqrt2\cdot5\cdot\sin45^\circ=\frac{25}{2}.\)

б) Равные боковые стороны равны 1, углы при основании — по \(75^\circ\), поэтому угол между сторонами равен \(180^\circ-75^\circ-75^\circ=30^\circ\). Тогда \(S=\frac12\cdot1\cdot1\cdot\sin30^\circ=\frac14.\)

в) Между сторонами \(\sqrt8\) и \(\sqrt6\) заключён угол \(60^\circ\): \(S=\frac12\cdot\sqrt8\cdot\sqrt6\cdot\sin60^\circ=3.\)

г) Квадрат имеет сторону 1. Лучи из нижней левой вершины образуют с нижней стороной углы \(30^\circ\) и \(60^\circ\). По тангенсу угла точка пересечения луча под \(60^\circ\) с верхней стороной имеет координаты \((1/\sqrt3,1)\), а точка пересечения луча под \(30^\circ\) с правой стороной — \((1,1/\sqrt3)\). Площадь треугольника с вершиной в начале координат равна половине модуля определителя: \(S=\frac12\left|\frac13-1\right|=\frac13.\)

Ответ: а) \(\frac{25}{2}\); б) \(\frac14\); в) 3; г) \(\frac13\).