37. Верно ли, что площадь треугольника не может превышать половины произведения двух его сторон? В каком случае её значение будет максимальным?

Пусть две стороны треугольника равны \(a\) и \(b\), а угол между ними — \(\gamma\). Тогда \(S=\frac12ab\sin\gamma\). Поскольку для угла треугольника \(0^\circ<\gamma<180^\circ\), имеем \(\sin\gamma\leq1\). Следовательно, \(S\leq\frac12ab\).

Равенство достигается, когда \(\sin\gamma=1\), то есть при \(\gamma=90^\circ\).

Ответ: да; площадь максимальна, когда угол между выбранными сторонами прямой.